第五章 一些简单的实例

在上一节中，我们讲了学习数学建模要注意能力的培养和提高。本节中，我们将举一些简单的实例来进一步说明这一问题。读者在看每一实例的解答以前，应当先自行给出解答，看看你的解答是否更好。如果你觉得你的解答比书中的解答更好，想一想好在何处。

例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？

解答 这是一个测试想象能力的简单题目，根据不必作太多的计算。

精粗一看，似乎会感到条件不够无法回答，但你只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。（读者可思考一下，本题解答中隐含了哪些假设）。

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。

分析 本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请读者据此给出严格证明）

例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。

分析 设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，（反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来，（留作习题）。

黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。

分析 看完问题你已经完全了解情况了吗？我们认为可能还应当再调查了解一些情况，例如，盘子有大小吗，是什么样的盘子？盘子是怎样洗的等。因为不同大小、不同材料的盘子吸热量是不同的，不同洗法盘子吸的热量也不相同。假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。

你还应当再分析一下，是什么因素在决定洗盘子的数量呢？不难看出，是水的温度。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。那么热水为什么会变冷呢？也许你能找出许多原因：盘子吸热带走了热量，水池吸热，空气吸热并传播散发热量等等。此时，你的心中可能已经在盘算该建一个怎么样的模型了。假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，这样，你毫无疑问要用到偏微分方程了，无论是建模还是求解，都有一定的难度。但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，你这样做不是有点自找苦吃，有“杀鸡用牛刀”之嫌吗？如此看来，你不如建一个稍粗略点的模型。由于吸热的诸因素中盘子吸热是最主要的，又由于盘子在热水中浸泡过。于是，你不妨可以提出以下简化假设：

（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同

（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同

（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2

（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）

根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

从以上分析可以看出，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。

例5将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。

解答 设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。

现设已用n+1块砖叠成可能达到的最远平衡状态，并考察自上而下的第n块砖，压在其上的n-1块砖的重心显然在它的右边缘处，而上面n块砖的重心则位于第n+1块砖的右边缘处，设两者水平距离为Zn。由力学知识可知。第n块砖受到的两个力的力矩相等，即有：

1/2-Zn=(n－1)Zn

故Zn =1/2n，从而上面n块砖向右推出的总距离为，令n趋于无穷，可知从理论上讲，向右

推出的距离可趋于 ，而调和级数是发散的， ，故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。

例6某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因。

分析AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。问题出在何处呢？让我们来看一个实例。由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%。

例7飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。

（方法一）点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即I=k/d2。黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有I2/I1=((d+a)/d)^2故d=~~~~~

（方法二）在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向（见图1-8），AB距离为a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d =a sinα/sin (α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。

2009-05-17