第二章 数学建模的一般步骤

从上节的例子可以看出，万有引力的导出并不像有些人想象的那样简单，即使不把哥白尼的工作计算在内，也包含了几代人的辛勤努力。没有第谷的观察数据就不会有开普勒的三大定律，而没有开普勒的三大定律，牛顿也无从着手，不可能得出万有引力定律。从万有引力定律的导出可以看出建立数学模型的过程大致可以分为以下几个步骤。

（1）了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。这一步骤可以看成是建模准备，没有对实际问题的较为深入的了解，就无从下手建模。为了对实际问题有所了解，有时还要求建模者对实际问题作一番深入细微的调查研究，就像第谷观察行星的运动那样，去搜集掌握第一手资料。

（2）在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。这一步骤实为建模的关键所在，因为其后的工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究揭示的并非绝对真理，它揭示的只是：假如这些提出的假设是正确的，那么得到的结果也是正确的。

（3）在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。采用什么数学结构、数学工具要看实际问题的特征，并无固定的模式。可以这样讲，数学的任一分支在建模中都有可能被用到，而同一实际问题也可以用不同的数学方法建立起不同的模型。一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。

（4）模型求解。为了得到结果，不言而喻建模者还应当对模型进行求解，在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

（5）模型的分析与检验。正如前面所讲，建立数学模型研究实际课题，得到的只是假如假设正确，就会有什么结果。那么，假设是否正确或者是否基本可靠呢，建模者还应当用结果来检验它。建立数学模型的目的是为了认识世界、改造世界，建模的结果应当能解释已知现象，预测未来的结果，只有经得起实践检验的结果才能被人们广泛地接受。牛顿的万有引力定律不仅成功地解释了大量自然现象，并精确地预报了哈雷慧星的回归，预言了海王星等其他行星的存在，才奠定了其作为力学基本定理之一的稳固地位。由此可见，模型求解并非建模的终结，模型的检验也应当是建模的重要步骤之一，只有在证明了建模结果是经得起实践检验的以后，建模者才能认为大功告成，完成了预定的研究任务。

如果检验结果与事实不符，只要不是在求解中存在推导或计算上的错误，那就应当分析检查假设中是否存在不合理或错误之处，修改假设重新建模，直到结果满意为至。综合起来讲，数学建模的过程可以概括为图1-2所示的流程。

图1-2:

实体信息----->假设------->建模--------->求解---------->验证-------->应用

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2009-05-17